| Мова : |
|
| Енциклопедія співтовариство |Енциклопедія відповіді |Відправити запитання |Словник знань |Завантажити знання |
Норма матриці |
  |
|
Норма матриці Визначте норму матриць: Один з Для будь-якої| | | |> = 0; | | А | | = 0 тоді і тільки тоді = O (нульова матриця); (1 і 2 можуть бути віднесені до позитивної визначеності) | | AA | | = | | | | | |; (однорідності) | | A B | | <= | | | | | | У | |. (Нерівність трикутника) У деяких підручниках визначимо матрицю норма для 5 |. | AB | | <= | | | | | | У | |. (Сумісність) У даній роботі для визначення норми матриці вимагає тільки передні чотири природі і природі зустріти перші п'ять називаються підкорятися матричного множення норми норми (суб- мультиплікативної нормою) . . . На додаток до загальних позитивно певна матриця нормою, однорідність і нерівність трикутника, а й забезпечує його сумісність мають бути виконані: XY ║ ║ ≤ ║ ║ ║ X Y ║. Таким чином, також часто називають матрицею норма сумісний норми. Якщо ║ ║ α · сумісні норми і будь-які зустрічаються · ║ ║ β ≤ ║ ║ α · нормою · ║ ║ β не сумісний з нормою, то ║ ║ α · називається мінімальною нормою. Для реальних матриця порядку N (або подвійний квадрат) на будь-який з усіх нормою ║ ║ · завжди існує єдине дійсне число K> 0, таке, що до ║ ║ · бути мінімальною нормою. ПРИМІТКА: Якщо ви не вважаєте сумісності, то норма матриці і векторної нормою немає ніякої різниці, тому що MXN матриці і тп-мірне векторний простір всіх ізоморфізму. Введена в основному для того, щоб зберегти сумісність матрицю як лінійні характеристики оператора, ця точка та операторної нормі послідовне сумісності, і може отримати інформацію за межі Теорема Mincowski. Індукованої нормою Матриця як лінійний оператор, це може бути викликано вектор норма матриці норма ║ ║ = тах {Ax ║ ║: ║ ║ х = 1} = тах {Ax ║ ║ / ║ ║ х: х ≠ 0} Він автоматично відповідає сумісності вектора норма ║ Ax ║ ≤ ║ ║ ║ ║ х, і, таким чином довівши AB ║ ║ ≤ ║ ║ ║ ║ B. Примітка: Наведене вище визначення може бути використаний замість вир макс кінцевого простору, оскільки пристрій закритий куля компактний (кінцеве відкрите покриття теорема), що вище, можуть бути прийняті для найбільш безперервних значень функції. 2 Очевидно, що оператор одинична матриця норма 1. Три широко використовується р-індукованої нормою матриці норма: 1 - норма: ║ ║ 1 = тах {Σ | ai1 |, Σ | ai2 |, ......, Σ | Айн |} (колони і нормою, сума абсолютних значень елементів у кожному стовпці максимальний) (яка Σ | ai1 | абсолютне значення першого елемента стовпця і Σ | ai1 | = a11 | a21 | ... | an1 |, подібно іншим); 2 - норма: ║ ║ 2 = максимальне сингулярне значення = (тах {ki (^ H *)}) ^ {1/2} (спектральна норма, тобто А'А найбільше власне Аг Квадратний корінь з λ1, де А ^ H сполучена транспонована матриця); ∞ - норма: ║ ║ ∞ = тах {Σ | A1J |, Σ | a2j |, ..., Σ | AMJ |} (рядки і норми, елементи в кожному рядку і максимальне абсолютне значення) ( де Σ | A1J | перші елементи рядка і абсолютне значення залишився подібне); Інші р-норми не існує простого вираження. Для Р-норма, може виявитися ║ ║ ║ р = ^ H ║ Q, де Р і Q сполучені цілей. Прості випадки можуть бути безпосередньо перевірено: ║ ║ 1 = ║ ^ H ║ ∞, ║ ║ 2 = ║ ^ H ║ 2, в загальному випадку вам потрібно використовувати ║ ║ р = тах {Y ^ H * A * X : ║ ║ х р = ║ ║ Y Q = 1}. Non-індукованої нормою Деякі норми матриця не може бути викликаний на вектор норми, такі як звичайно використовувані норми Фробеніуса (також називається евклідової нормі, називають F-нормою або E-норма): ║ ║ F = (МОС ΣΣ ^ 2) ^ 1/2 (квадратний корінь з суми квадратів всіх елементів). Легко перевірити, що F-норма узгоджена, але коли хв {т, п}> 1 时 F-норма не може бути викликаний на вектор нормі (| | E11 E22 | | F = 2> 1). Будь-хто може довести, що завжди пов'язане норма матриці сумісні норма вектора. Таких як визначення ║ ║ X = X ║ ║, де х = [х, х, ..., X] є матриця-стовпець х. У F-вектор норму в два - норма, тому F-нормі і вектор 2 - норма сумісними. На додаток до наступних висновків: AB ║ ║ F <= ║ ║ F ║ ║ B 2 і AB ║ ║ F <= ║ ║ ║ 2 ║ B F 1 спектральний радіус матриці і відносини між нормою Визначення: це квадратна матриця порядку N, Аг його власних значень, г = 1,2, ..., N. Характеристика називається максимальне значення абсолютних значень спектрального радіусу, позначається ρ (A). Примітка Для спектрального радіусу і спектральні норми (2 - норма) розрізняють спектральна норма є найбільшим виняткове значення, тобто ^ H * максимальне власне значення квадратного кореня. Спектральний радіус є функцією від матриці, але не матриці норми. |
| Користувач Огляд |
|
Немає коментарів |
